遗传算法中适值函数的标定与大变异算法

本文尝试对遗传算法中不同适值函数的标定(Scaling)方法进行下总结，并针对常用的线性标定和动态线性标定进行了Python实现，以装饰器的形式添加到遗传算法框架GAFT中，这样在使用GAFT运行遗传算法迭代的时候可以更加Pythonic的给自定义的适值函数进行标定。最后针对能够防止早熟情况的大变异算法进行了相应的实现。

目前(动态)线性标定装饰器以及大变异算子均已添加到GAFT中，gaft项目链接:

GitHub: https://github.com/PytLab/gaft

PyPI: https://pypi.python.org/pypi/gaft

适值函数的标定

选择压力

The tendency to select the best member of the current generation is known as selective pressure.

选择压力也就是种群中最好个体与最坏个体被选中概率的差值，这个差距越大，选中好个体的趋势就越大，则成为选择压力大。

适值函数的标定

一般情况下，直接拿目标函数作为适值函数十分的方便，但是很多情况下却不能这么做，例如对于求最小值问题，我们必须将目标函数取反才能作为适值函数(这是最简单的情况)。

当我们遗传算法中不同个体适值函数的值相对差别很小的时候，我们根据适应度值的大小进行个体选择的选择压力(Selective pressure)就会变小，选优的能力弱化，这个时候我们需要对原始的适值函数进行标定(Scaling)是的他们相对差别增大，进而增大选择压力，增强算法的选优能力。

例如:

局部搜索、广域搜索与选择压力的关系

在遗传算法中，局部搜索同广域搜索其实相互矛盾的，注重局部搜索则会陷入局部最优，但是注重广域搜索会导致算法精确开发能力不强。因此需要综合两者考虑，我们可以在搜索刚刚开始的时候使用较小的选择压力来广域搜索，随着迭代的进行可以动态的增大选择压力来使算法偏向于局部搜索。

几种不同的适值函数标定方法

对目标函数的标定方法一般有:线性标定、动态线性标定、幂律标定、对数标定等

线性标定

线性标定的形式:

其中f′为标定后的适值函数，ff为原始的目标函数。

求最大值

对于求目标函数的最大值的时候, 即 arg max f(x)

我们取a=1,b=−fmin+ξ, 其中ξ是一个较小的数，目的是使得种群中最差个体也有被选中的机会，不然自身减掉f−fmin=0, ξ的存在可以增加种群的多样性。

最终的适值函数表达式:

求最小值

当我们需要求目标函数最小值的时候，arg min f(x)，我们需要对目标函数进行取反操作, 即 a=−1,b=fmax−f(x)+ξ

最终的适值函数表达式:

GAFT中添加对于目标函数的标定

由于适值函数标定并不针对某个目标函数，我便想通过装饰器的方式来方便给任何自定义的fitness函数进行标定。对于基本的线性标定，我在GAEngine中添加了个带参数的装饰器:

def linear_scaling(self, target='max', ksi=0.5):

    '''

    A decorator constructor for fitness function linear scaling.

    :param target: The optimization target, maximization or minimization.

    :type target: str, 'max' or 'min'

    :param ksi: Selective pressure adjustment value.

    :type ksi: float

    Linear Scaling:

        1. arg max f(x), then f' = f - min{f(x)} + ksi;

        2. arg min f(x), then f' = max{f(x)} - f(x) + ksi;

    '''

    def _linear_scaling(fn):

        # For original fitness calculation.

        self.ori_fitness = fn

        @wraps(fn)

        def _fn_with_linear_scaling(indv):

            # Original fitness value.

            f = fn(indv)

            # Determine the value of a and b.

            if target == 'max':

                f_prime = f - self.ori_fmin + ksi

            elif target == 'min':

                f_prime = self.ori_fmax - f + ksi

            else:

                raise ValueError('Invalid target type({})'.format(target))

            return f_prime

        return _fn_with_linear_scaling

    return _linear_scaling

这个时候如果我们在定义了一个自己的目标函数以后，想对其进行线性标定便可以使用engine的这个装饰器对函数进行修饰即可, 像下面这样:

# Create a GA engine...

# 先标定，后注册到引擎中

@engine.fitness_register

@engine.linear_scaling(target='min', ksi=0.5)

def fitness(indv):

    x, = indv.variants

    return x + 10*sin(5*x) + 7*cos(4*x)

其中装饰器中的参数分别为:

target: 优化目标函数到最小值还是最大值，值可以是:'max'或者'min'

ksi: 即公式中ξξ

动态线性标定

动态线性标定是遗传算法中最常用的标定方法，他是基于上面提到的线性标定，在线性标定中的ξξ在动态线性标定中并不是一成不变的，而是随着迭代次数的增加而变化。

动态线性标定的函数表达式:

其中，k为迭代指标，表示ξ会随着迭代数而不同。

求最大值

当我们的优化目标是目标函数的最大值，这是我们取ak=1,bk=−fmin+ξk, 这是的函数表达为:

关于ξk

动态线性标定中的ξk作用同线性标定中的ξ为选择压力调节值, 它的存在使得种群中最坏的个体仍有被选中的机会，但是动态标定中的ξkξk的值会随着kk增大而减小。

ξk的取值: ξ0=M, ξk=ξk−1⋅r, r∈[0.9,0.999], 我们通过调节M和r来调节ξk

通过可以动态变化的ξk，我们可以使广域搜索范围宽保持种群的多样性，局部搜索保持收敛性，即，开始时希望选择小，迭代到后面希望选择压力逐渐变大.

GAFT中添加给目标函数添加动态线性标定

与上面线性标定的方法相同，GAFT中同样使用了标定装饰器来装饰用户自定义的目标函数，实现代码:

def dynamic_linear_scaling(self, target='max', ksi0=2, r=0.9):

    '''

    A decorator constructor for fitness dynamic linear scaling.

    :param target: The optimization target, maximization or minimization.

    :type target: str, 'max' or 'min'

    :param ksi0: Initial selective pressure adjustment value, default value

                 is 2

    :type ksi0: float

    :param r: The reduction factor for selective pressure adjustment value,

              ksi^(k-1)*r is the adjustment value for generation k, default

              value is 0.9

    :type r: float in range [0.9, 0.999]

    Dynamic Linear Scaling:

        For maximizaiton, f' = f(x) - min{f(x)} + ksi^k, k is generation number.

    '''

    def _dynamic_linear_scaling(fn):

        # For original fitness calculation.

        self.ori_fitness = fn

        @wraps(fn)

        def _fn_with_dynamic_linear_scaling(indv):

            f = fn(indv)

            k = self.current_generation + 1

            if target == 'max':

                f_prime = f - self.ori_fmin + ksi0*(r**k)

            elif target == 'min':

                f_prime = self.ori_fmax - f + ksi0*(r**k)

            else:

                raise ValueError('Invalid target type({})'.format(target))

            return f_prime

        return _fn_with_dynamic_linear_scaling

    return _dynamic_linear_scaling

这里充分的利用Python的闭包，在engine中获取当前种群最大值与最小值的相关数据。

在脚本中修饰目标函数便可以这样:

@engine.fitness_register

@engine.dynamic_linear_scaling(target='max', ksi0=2, r=0.9)

def fitness(indv):

    x, = indv.variants

    return x + 10*sin(5*x) + 7*cos(4*x)

其他标定方法

这里简要的介绍下其他标定方法。

幂律标定

函数表达式: f′=fα

α的取值, α>1增大选择压力, α<1减小选择压力

对数标定

函数表达式: f′=aLnf+b

作用: 缩小目标函数之间的差别

指数标定

函数表达式: f′=aebf+c

作用: 扩大目标函数间的差别

窗口技术

函数表达式: f′=af−fw

fw为前W代中的目标函数最小值，他考虑了各代fmin的波动，这样fw具有记忆性

大变异算法

众所周知，简单的遗传算法存在“早熟”的问题，也就是算法过早的收敛到一个非全局最优点，出现此问题的主要原因是一种被称为“顶端优势”的现象存在，即当算法进行到某一代时，在种群中某个个体的适应度远远大于任何一个个体的适应度，导致选择算法总是会选到此个体生成子代个体，极限情况下就是所有个体都来自统一祖先，即”早熟”。除了对目标函数进行标定，我们可以通过大变异算法来避免早熟。

大致思路: 当某代中所有个体集中在一起时，我们以一个远大于通常变异概率的概率执行一次变异操作，具有大变异概率的变异操作能够随机、独立的产生许多新的个体，从而是整个种群脱了“早熟”。

如何判断种群个体的集中程度

通常采取比较种群中所有个体的适应度值的平均值favg与最大值fmax的接近程度来判断，如果最大值与平均值越接近说明个体就越集中。

具体过程

当某一代的最大适应度fmax与平均适应度值favg满足:

其中，0.5<α<1, 被称为密集因子，表征个体集中程度。随后，我们以一个大变异概率进行一次变异操作(通常大5倍以上), 即“打散”。

大变异操作的两个参数

密集因子α: 决定大变异操作在整个过程中所占的比重，其数值约接近0.5，大变异操作越频繁

大变异概率: 概率越大，大变异算法的稳定性就越好，但是收敛速度可能会降低，当大变异概率的数值为0.5的时候，大变异操作就近似退化为随机搜索

GAFT中的大变异算子

大变异操作与具体的变异算子实现无关，这里我还是依据内置的FlipBitMutation算子为基础, 具体的代码实现参见https://github.com/PytLab/gaft/blob/master/gaft/operators/mutation/flip_bit_mutation.py

class FlipBitBigMutation(FlipBitMutation):

    def __init__(self, pm, pbm, alpha):

        '''

        Mutation operator using Flip Bit mutation implementation with adaptive

        big mutation rate to overcome premature or local-best solution.

        :param pm: The probability of mutation (usually between 0.001 ~ 0.1)

        :type pm: float in (0.0, 1.0]

        :param pbm: The probability of big mutation, usually more than 5 times

                    bigger than pm.

        :type pbm: float

        :param alpha: intensive factor

        :type alpha: float, in range (0.5, 1)

        '''

        super(self.__class__, self).__init__(pm)

        if not (0.0 < pbm < 1.0):

            raise ValueError('Invalid big mutation probability')

        if pbm < 5*pm:

            self.logger.warning('Relative low probability for big mutation')

        self.pbm = pbm

        # Intensive factor.

        if not (0.5 < alpha < 1.0):

            raise ValueError('Invalid intensive factor, should be in (0.5, 1.0)')

        self.alpha = alpha

    def mutate(self, individual, engine):

        '''

        Mutate the individual with adaptive big mutation rate.

        '''

        pm = self.pm

        if engine.fmax*self.alpha < engine.fmean:

            self.pm = self.pbm

            self.logger.info('Big mutation probabilty: {} -> {}'.format(pm, self.pm))

        # Mutate with big probability.

        individual = super(self.__class__, self).mutate(individual, engine)

        # Recover probability.

        self.pm = pm

        return individual

总结

本文尝试对遗传算法中不同适值函数的标定(Scaling)方法进行下总结，并针对常用的线性标定和动态线性标定进行了Python实现，以装饰器的形式添加到遗传算法框架GAFT中，这样在使用GAFT运行遗传算法迭代的时候可以更加Pythonic的给自定义的适值函数进行标定。最后针对能够防止早熟情况的大变异算法进行了相应的实现。